Bir Mukavemet Probleminin El hesabı, Excel ile Sonlu Elemanlar ve Paket Program ile Çözümü

Author | SONLU ELEMANLAR

Uzay zaman düzlemindeki fiziksel problemler matematikte kısmi diferansiyel denklemler ile çözülür (partial differential equations). Tasarımlarımızdaki kompleks modellerin problemlerini çözmek içi kısmi diferansiyel denklemler ile çözüm elde edemeyiz. Fiziksel modeli oluşturmak yerine, modelin ilgili bölümlerini kısmi parçalara ayırarak denklemi oluşturabiliriz. Bu oluşan alt parçacıklar kısmi diferansiyel denklemlerle çözümlenebilir. İşte bu yöntem Sonlu Elemanlar (FEM) olarak bilinir.

1940’larda, metot makine, inşaat ve uzay alanlarında kullanılmaya başlandı. 1960’larda bilgisayar teknolojisinin gelişmesiyle birlikte, artık sonlu elemanlar programları çıkmaya başladı. Bir eleman discretization (mesh) ile küçük alt parçacıklara ayrıldı ve bu alt parçalara eleman dendi. Sonlu Elemanlar günümüzde ısı transferinden, akışkanlar mekaniğine, mukavemete ve birçok mühendislik probleminin çözümünde kullanılmaktadır.

Sonlu elemanlar metodu genel olarak analiz programlarıyla birlikte anılmaktadır. Karşılaştığımız bir problemi, okulda gördüğümüz teorik çözümler kullanarak tamamlayabiliriz, hatta bunu daha pratik hale getirmek için bir arayüz tanımlayabilir, excelde bir şablon yapabiliriz. Peki sonlu elemanlar paket programları ne zaman kullanacağız?

Bu problemi bir örnek üzerinden çözümleyelim. Aşağıdaki resimde gözüken parçayı üstten sabitleyip bir kuvvet ile çekiyoruz. Parçada kullandığımız malzeme bilgileri ve ölçüleri tabloda gözükmektedir. Burada parçanın ucundaki yer değiştirme hesabını elle, excel ve sonlu elemanlar ile hesaplayalım.

Yer değiştirme formülüne bakalım. Burada yer değiştirme bilinmeyenimiz. Alan için uygun değeri seçmeliyiz. En altta ki alana bakarak en kritik durumu ele alalım.

Gerekli değerleri yerine koyduğumuzda yer değiştirme 0,02 mm olarak bulunur.

Şimdi modelimizi bir de excelde matris oluşturarak sonlu elemanlar ile çözelim. Metodu uygulamanın ilk adımı modeli parçalara ayıralım. Eleman sayısı doğru sonuca ulaşmak için bir kriterimizdir. Ne kadar eleman sayısı fazla ise doğru sonuca o kadar yaklaşırız. Doğru sonuca yaklaşırken, eleman sayısını artırmak aynı zaman da çözüm süresini artırmak demektir. Dolayısıyla amacımız, uygun elaman sayısını belirleyerek en kısa zamanda çözüme ulaşmaktır.

Yukarıdaki resimde için 2,4 ve 6 eleman kullanarak buradaki basit problemi çözmeye çalışalım. U değerleri elemanları düğüm noktalarıdır. Düğüm noktaları matematiksel değer elde edilen noktalarıdır. Elemanların bulunduğu noktalardaki alan değerlerini hızlıca oluşurdum ve tabloda gösterdim. Bu alan değerlerini matriste kullanacağımız stiffness değerleri için kullanacağız.

Stifness değerleri için aşağıdaki formülü kullanabiliriz.

İlgili değerleri yerine koyarak, k değerlerini tüm elemanlar için bulabiliriz. Daha sonrasında matris oluşturuyoruz. 2 elemanlı bir yapı için matris oluşturalım.

Global matris aşağıdaki hale gelir.

Yük matrisini oluşturalım.

[F]=[k]. [x} genel denkleminde, matris işlemlerini tamamlayarak, düğüm noktalarındaki yer değiştirme değerlerini elde ederiz.

Aynı işlemleri 4 ve 6 Elemanlı parçalarda da yaparsak matrislerimiz aşağıdaki gibi büyüyecektir.

2, 4 ve 6 elemanlı değerler için aldığımız sonuçlara grafikte şöyle bir bakalım.

2,4,6 elemanlı elle yapılan hesaplamalarda görülmüştür ki, eleman sayısı arttıkça sonuç giderek yakınsamaktadır. 4 ve 6 elemanlı hesaplamalarda sonuçlar virgülden sonra 4.hanelerde değişmektedir. Burada çıkaracağımız sonuç 6’ dan daha fazla bir elemana bölsek bile sonucun çok değişmeyeceğidir.

Şimdi ise SOLIDWORKS Simulation da modeli hızlıca çizip, analiz etme işlemi birkaç dakika içinde tamamlanacaktır.  Sonuçlara baktığımızda sonlu elemanlar ile yaptığımız çözüm, SOLIDWORKS’teki sonuçlarla uyuşmaktadır.

Excel’de bir formül ile yaptığımız işlemleri, aynı model için değerleri değiştirip otomatik hale getirebiliriz. Buradaki modelimiz gayet sade ve basittir. Eğer model geometrik olarak daha kompleks bir hale geldiğinde Excel ya da elle hesaplayamayabiliriz. Ayrıca modeli oluşturmak için yaptığımız onca matris işlemleri de vakit alan işlemlerdir. Sonlu Elemanlar Yazılım Programlarının avantajı bu noktada ortaya çıkmaktadır.

Last modified: Kasım 14, 2018

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir